斐波那契数列通项公式

[toc] # 简介 斐波那契数列是指的这样的一个数列，从第3项开始，以后每一项都等于前两项之和。写成递推公式即： $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)$$ 假设令$a_1=1,a_2=1$，则斐波那契数列指的是这样的一串数：${1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...}$。接下来，文章提到斐波那契数列特指$a_1=1,a_2=1$的这串数。 # 斐波那契数列的通项公式及证明 ## 通项公式 斐波那契数列的通项公式非常对称： $$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]$$ 可以发现，斐波那契数列都是整数，但斐波那契数列的通项公式确是由无理数拼凑而来的。那么接下来，我们就来看看如何证明（求解） ## 证明 由 $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3)$$ 可设 $$a_n-\lambda a_{n-1}=\mu (a_{n-1}-\lambda a_{n-2})$$ 移项后，使系数相同，得到： $$\left\{\begin{matrix} \lambda + \mu = 1\\ -\lambda \times \mu =1 \end{matrix}\right.$$ 解得 $$\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\text{或}\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.$$ 将其带回到原式可得到 $$\left\{\begin{matrix} a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2})---------------1.\\ a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2})---------------2. \end{matrix}\right.$$ 然后 $$2. \times \frac{1-\sqrt{5}}{2}-1.\times \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ 化简得 $$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]$$