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数学基础系列(二)----偏导数、方向导数、梯度、微积分

|旧市拾荒| 人气:4

一、偏导数

对于一元函数y=f(x)只存在y随x的变化,但是二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率,随y变化的变化率,随x﹑y同时变化的变化率。如下图所示

  

1、偏导数定义

设函数$z=f(x,y)$在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,定y=y0,一元函数$f(x_{0},y_{0})$在点x=x0处可导,即极限$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}=A$。

则称A为函数$z=f(x,y)$在点(x0,y0)处关于自变量x的偏导数。记作:$f_{x}(x_{0},y_{0})$、$\frac{\partial z}{\partial x}\left| _{\begin{smallmatrix}  x={{x}_{0}} \\  y={{y}_{0}} \end{smallmatrix}} \right.$、$\frac{\partial f}{\partial x}\left| _{\begin{smallmatrix}  x={{x}_{0}} \\  y={{y}_{0}} \end{smallmatrix}} \right.$或者$z_{x}\left| _{\begin{smallmatrix}  x={{x}_{0}} \\  y={{y}_{0}} \end{smallmatrix}} \right.$

2、几何意义:

偏导数$f_{x}(x_{0},y_{0})$就是曲面被平面$y=y_{0}$所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率,偏导数$f_{y}(x_{0},y_{0})$就是曲面被平面$x=x_{0}$所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率。如下图所示

  

3、例题

求$f(x,y)=x^{2}+3xy+y^{2}$在点(1,2)的偏导数。

  

二、方向导数

1、介绍

在函数定义域的内点,对某一方向求导得到的导数。一般为二元函数和三元函数的方向导数,方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数。现在假设如下图所示,有两火苗分别沿x、y轴蔓延,问蚂蚁沿什么方向跑才能存活?

  

可以很容易想到沿矩形的对角线跑。现在有函数$z=f(x,y)$

  

可以得出距离$\left | PP' \right |=\rho =\sqrt{(\Delta x^{2})+(\Delta y^{2})}$,然后可以得出函数值的增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$。

如果函数的增量,与这两点距离的比例存在,则称此为在P点沿着L的方向导数,用公式表达就是$\frac{\partial f}{\partial l}=\lim\limits_{\rho \rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }$

特别的,函数$f(x,y)$在X轴正向$\vec{e_{1}}$={1,0},Y轴正向$\vec{e_{2}}$={0,1}的方向导数分别为$f_{x},f_{y}$,负方向导数为$-f_{x},-f_{y}$

2、定理

如果函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$是可微分的,那么在该点沿任意方向L的方向导数都存在,公式表达为$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \varphi +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \varphi $,$\varphi $为X轴到L的角度。

  

3、例题

求函数$z=xe^{2y}$在点$P(1,0)$处沿从点$P(1,0)$到点$Q(2,-1)$的方向的方向导数。

示意图如下:

  

求解过程如下:

  

三、梯度

1、梯度

函数$z=f(x,y)$在平面域内具有连续的一阶偏导数,对于其中每一个点$P(x,y)$都有向量$\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$,则其称为函数在点P的梯度。梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。用公式表达来就是:

$gradf(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$。

设$\vec{e}=\cos \varphi \vec{i}+\sin \varphi \vec{j}$是方向L上的单位向量。

由方向导数公式可知:$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \varphi +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \varphi=\left \{ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right \}\cdot \left \{ \cos \varphi ,\sin \varphi  \right \}=gradf(x,y)\cdot \vec{e}=\left | gradf(x,y) \right |\cos\theta $。

其中$\theta =(gradf(x,y),\vec{e})$。

2、结论

只有$\cos (gradf(x,y),\vec{e})=1$,$\frac{\partial f}{\partial l}$才有最大值。

函数在某点的梯度是一个向量,它的方向与方向导数最大值取得的方向一致,从而而它的模正好是最大的方向导数,也就是方向导数的最大值。

  

3、例题

设$u=xyz+x^{2}+5$,求grad$u$,并求在点$M(0,1,-1)$处方向导数的最大(小)值。

  

4、小结

(1)、方向导数的概念,注意方向导数与一般所说偏导数的区别
(2)、注意梯度其实是一个向量。
(3)、方向导数与梯度的关系,梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向,梯度的模就是方向导数的最大值。

四、微积分

1、介绍

微积分诞生于17世纪,主要帮助人们解决各种速度,面积等实际问题,如下图所示,怎么才能求得曲线的面积呢?

  

首先对于一个矩形来说,我们可以轻松求得其面积,那能不能用矩形代替曲线形状呢?如果能行的话,那应该用多少个矩形来代替曲线呢?

   

在ab之间插入若干个点,这样就得到了n个小区间,这样的话每一个小矩形的面积为:$A_{i}=f(\xi _{i})\Delta x_{i}$,这样的话对每个小矩形的面积求和的话就可以近似得到曲线的面积:$A\approx \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

   

当分割无限加细,每个小区间的最大长度为$\lambda $,此时$\lambda \rightarrow 0$。由此可得曲线的面积为:$A=\lim\limits_{\lambda  \rightarrow 0 }\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

从求和角度来看,我们需要尽可能的将每一个矩形的底边无穷小,而莱布尼兹为了体现求和的感觉,给S拉长了,简写成$\int f(x)dx$

  

2、微分:

由于无穷小的概念,dx,dy都叫做微分。所谓微积分就是把这些微分积起来。

  

微分是什么?其实很简单,用两个式子就可以很简单的描述了:$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }dy=0,\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }dx=0$

  

3、定积分

当|Δx|—>0时,总和S总是趋于确定的极限I,则称极限I为函数f(x)在曲线[a,b]上的定积分

  

其中,积分值和被积函数与积分曲线有关,与积分变量字母无关。

  

当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时,称f(x)在区间[a,b]上可积。

4、定积分几何含义

面积的正负值:$\begin{matrix}f(x)>0, & \int_{a}^{b}f(x)dx=A\\ f(x)<0, & \int_{a}^{b}f(x)dx=-A\end{matrix}$

也就是说如果定积分的值为正值,那它就表示曲边梯形的面积,如果求出来是负值的话,那它就表示曲边梯形的面积的负值

  

5、定积分性质:

1、$\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx.$

2、$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$,k为常数。

3、假设a<c<b,则$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$。

4、如果在区间[a,b]上$f(x)\geqslant 0$,则$\int_{a}^{b}f(x)dx\geqslant 0.(a<b)$。

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