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数学基础系列(五)----矩阵、矩阵的秩、向量、特征值与特征向量

|旧市拾荒| 人气:2

一、矩阵

1、系数矩阵

前面学习了矩阵很多基础知识,那么遇到具体的线性方程组该怎么办呢?该怎么转换为矩阵来求解呢?如下图所示,A为系数矩阵,X是未知数矩阵,B是常数矩阵。

  

2、矩阵转置

简单来说就是矩阵的行元素和列元素互相调换一下。

  

下面列出一些矩阵转置常用的公式

  

这些都没有什么好说的,都比较好理解,要注意的是就是最后一个公式的前后的顺序是不同的。

3、对称矩阵

如果满足$A^{T}=A$,那么A就是对称矩阵

  

4、逆矩阵

A为n阶方阵,如果说存在n阶方阵B,使得AB=BA=I(I为单位矩阵),那么就称A、B互为逆矩阵,记作:B=A-1

性质(前提矩阵可逆):

  

二、矩阵的秩

矩阵的秩很重要,对后面特征值,特征向量的理解很重要,要重点注意这个地方。

对于一个$S\times N$的矩阵:$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots  & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots  & a_{2n}\\ \cdots  & \cdots  & \cdots  & \cdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots  & a_{sn}\end{bmatrix}$

矩阵A的每一行可以看作一个N维向量:$\alpha _{i}=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}),i=1,2,\cdots ,s$,所以$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{s}$称作A的行向量

矩阵A的每一列也可以看作一个S维向量:$\beta _{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{ij}\end{bmatrix},j=1,2,\cdots ,n$,所以$\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{n}$称作A的列向量。

那么矩阵的秩到底表示什么呢?

比如说有一个矩阵$A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 3 &1 \\ 0 & 2&-1  & 4\\ 0 & 0 & 0 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

矩阵A的行向量组为:$\begin{matrix}\alpha _{1}=(1,1,3,1) &\alpha _{2}=(0,2,-1,4) \\ \alpha _{3}=(0,0,0,5) & \alpha_{4}=(0,0,0,0)\end{matrix}$

现在我们需要求这个行向量组的极大线性无关组,假设有$k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+k_{3}\alpha _{3}=0$。具体代入如下图所示

  

解得$k_{1}=k_{2}=k_{3}=0$,即$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$线性无关。

由于矩阵里面含有一个零向量,所以这个零向量必然和矩阵里面其他向量线性相关,所以向量组:$\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$的秩为3。简单来说,矩阵的秩就是矩阵里面的所有向量最大的线性无关的数目。

对于列向量同理可得:$\beta _{3}=\frac{7}{2}\beta _{1}-\frac{1}{2}\beta _{2}+0\beta _{4}$,但$\beta _{1},\beta _{2},\beta _{4}$线性无关,所以向量组:$\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3},\beta _{4}$的秩为3,综上所述,即矩阵的行秩等于列秩。

那么矩阵的秩到底该怎么来理解呢?以下内容参考了知乎大神的理解:https://www.zhihu.com/question/21605094

可以对二维图形(实际上就是代表一个矩阵)进行旋转,比如用旋转矩阵:$\begin{bmatrix}\cos(\theta )  &-\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos(\theta )\end{bmatrix}$去乘以二维图形代表的矩阵。

  

变换后依然是二维的,所以旋转矩阵的秩为2

在假如说通过这样的矩阵$\begin{bmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{bmatrix}$来对图形进行旋转。

  

变换后是一维的,所以这个旋转矩阵的秩为1

矩阵中最大不相关向量的个数就是秩了。

举个例子就很容易理解,大家排队买票。如果大家互相不认识,那就会一个排一个,非常有秩序。然而,如果突然来了一个与队伍前面的人认识的人,这个人又不自觉,非要插队。那后面的人肯定要有意见了,说你要是这样我前面还有认识的人呢,你插我也插,这样整个队伍就乱掉了,谁也买不成。

通过这个例子,可得以下结论:彼此不认识,那就不相关,就有秩序,问题就好解决;反之,彼此相关,就没有秩序,问题就不好解决。所以,数学家们定义,矩阵中的最大的不相关的向量的个数,就叫秩,可以理解为有秩序的程度。

再比如说我们家中有很多张照片(N),但是一家只有三口(R),所以我们就把R当做矩阵的秩。

  

三、向量

1、向量的内积

设有n维向量:$x=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots \\ x_{n}\end{bmatrix}$,$y=\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots \\ y_{n}\end{bmatrix}$

$[x,y]=x_{1}\times y_{1}+x_{2}\times y_{2}+\cdots +x_{n}\times y_{n}$,此时我们就把$[x,y]$叫做向量的内积(也叫点乘,注意和外积(叉乘)的区别)。

性质:

  

2、向量的长度

n维向量x的长度:$\left | x \right |=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}\geqslant 0$。特别的,当|x|=1时称为单位向量。

齐次性:$\left | \lambda x \right |=\left | \lambda  \right |\cdot \left | x \right |$。

三角不等式:$\left | x+y \right |\leqslant \left | x \right |+\left | y \right |$。

  

3、向量的正交。

两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组。

若$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{r}$是两两正交的非零向量,则$\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{r}$线性无关。

规范正交基,也叫标准正交基 

n维向量$e_{1},e _{2},\cdots ,e_{r}$是向量空间$V\subset R^{n}$中的向量。满足:

  

则称$e_{1},e _{2},\cdots ,e_{r}$是V的一个规范正交基。例如$e_{1}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{bmatrix},e_{2}=\begin{bmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{bmatrix},e_{3}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{bmatrix},e_{4}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{bmatrix}$是$R^{4}$的一个规范正交基

四、特征值与特征向量

1、通俗理解

矩阵究竟做了什么?假如说让一个矩阵去乘以一个向量的话,那么矩阵对向量既可以做拉伸也可以做旋转,如下图所示

  

我们先来理解为什么叫特征值和特征向量,比如说有如下式子:

  

矩阵A当然是一个变换,然后这个变换的特殊之处是当它作用在特征向量  上的时候,  只发生了缩放变换,它的方向并没有改变,并没有旋转。就像 wikipedia 上经过了错切变换的蒙娜丽莎一样:

  

这幅图片在水平方向没有改变, $\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}$就是一个它的特征向量,对应的特征值是 λ = 1 。

再比如说在一次拳击比赛中, 拳击怎么赢?攻击的方向与力量,我们可以把方向当做是特征向量,在这个方向上用了多大的力量就是特征值。

  

2、数学定义

对于给定矩阵A,寻找一个常数λ和非零向量X,使得向量x被矩阵A作用后所得的向量AX与原向量X平行,并且满足AX=λX,那么这个X就是代表的特征向量了,λ代表的就是特征值了。

  

由所有的特征向量组成了特征空间

  

3、特征向量的应用 

既然特征值表达了重要程度且和特征向量所对应,那么特征值大的就是主要信息了,基于这点我们就可以提取各种有价值的信息了。

  

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