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C++中double浮点数精度丢失的深入分析

adanus 人气:0
这篇文章主要给大家介绍了关于C++中double浮点数精度丢失的相关资料,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友们下面随着小编来一起学习学习吧

看了一篇关于C/C++浮点数的博文,在Win32下,把int, 指针地址,long等4字节整数赋给一个double后,再用该double数赋给原始类型的数,得到的结果于最初的数值一致,即不存在任何精度丢失。例如下面的结果将总是true:

 long a=123456; //assign any long number here
 double db=a;
 long b=db;
 printf("%s\n",a==b?"true":"false");

但是对于long long或win64下的指针地址等8字节整数将存在精度丢失,于是对这方面做了一个简单的测试:

#include<iostream>
#include<stdlib.h>

void showEncodeOfDouble(unsigned char* db){

 const int ByteLength=8; 
 for(int i=ByteLength-1;i>=0;i--) 
  printf(" %.2x",db[i]);

 printf("\n");

}


int main(){
 
 unsigned long long maxULL=0xffffffffffffffff; //2^64-1=18446744073709551615,
             //max unsigned long long
 printf("%llu\n",maxULL);

 double d1=maxULL;        //20bit Significant,Precision Loss 
 printf("%f\n",d1);      

 maxULL=d1;
 printf("%llu\n",maxULL);
 
 showEncodeOfDouble((unsigned char*)&d1);

 system("pause");
 return 0;
}

输出的结果如下(visual studio,win32):

18446744073709551615
18446744073709552000.000000
9223372036854775808
 43 f0 00 00 00 00 00 00

至此,有两点疑问(暂时不理会代码中showEncodeOfDouble的结果):

  1)为什么丢失精度后得到的double数是18446744073709552000.000000?
  2)为什么将double数重新转化为unsigned long long后得到的数又和double不一致呢?

对于这两个问题,需要对C++浮点数的规格有一定的了解。

1  IEEE浮点标准

C/C++采用的是IEEE浮点标准,它以“二进制的科学表示法”表示一个小数:

其中M是一个整数部分仅有一位的二进制小数,例如1.011,表示十进制下的1.375。E表示该小数以2为底时的阶数。基于以上的表示方式,小数需要对三部分进行编码:表示符号的s,及阶码E、尾数码M。C++中的double类型三种编码所占的位数如图所示。

53位尾数码所能达到的精度为53二进制位,约为16 个十进制位( 53 log10(2) ≈ 15.955) [1],尾数码的编码中还有一个隐含的开头整数位1(或0,当11位阶码全0时)因此实际中可得15-17位十进制的精度。当有效位数最多15位的十进制数转换成double然后重新转换为原来的十进制类型时,数值保持一致;另一方面,将一个double数转化为可以容纳17位以上有效数字的十进制数再重新转化为double,结果数值也保持一致。

这就解释了为什么4字节的整数转化为double重新转化能保持一致(2^32=4294967296仅10个有效位),而8字节的整数却可能丢失精度(2^64-1=18446744073709551615共20个有效位)。但第一个问题中整数丢失精度后转化成的double数值是怎么来的呢,这需要了解C++阶码和尾数对于double数值的意义。

2 阶码编码和尾数编码

在阶码编码中,有一个常数偏置量Bias=1023,假设11位阶码所代表的无符号整数值为e,

1)若e不为0(11位全为1时用于表示特殊数字,此处不讨论),则double数值为

2)若e=0,则小数值为

 

那么,可以看函数showEncodeOfDouble了,它的作用是将一个double数的编码按字节打印出来(左边是高字节),按其打印结果按照上面计算,可知double编码值表示的数值是2^64,这是合理的,当把精度较高的整数转化为double时,C++采用向偶数舍入的方式得到最接近的值[2]。至于打印出的结果,属于C++浮点数打印中的细节问题。

3 C++浮点数打印

许多C/C++的库中在输出double时,通常有意使得输出结果简短些(即使设置了足够多的可见位数),以避免较大位数的输出。直接使用C中的printf或cout打印double数时,打印显示的结果也有可能是带有精度丢失的结果,可使用16进制的方式打印出更精确的double:

printf("%a\n",d1);

得到的输出结果为:

0x1.000000p+64

至此问题1实际上只是C++中,将高精度整数转double时的偶数舍入问题。

对于问题2,从float或double转换成int,值将会被向零舍入.例如1.999将被转换成1而-1.999将会被转换成-1。进一步来说,值有可能会溢出。C语言标准没有对这种情况指出固定的结果,这种转换行为是无定义的。

参考链接:

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format#cite_note-whyieee-1

[2]深入理解计算机系统,Randal E. Bryant, 机械工业出版社

[3]http://stackoverflow.com/questions/4738768/printing-double-without-losing-precision

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