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都2020年了,听说你还不会归并排序?手把手教你手写归并排序算法

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本文介绍了归并排序的基本思想,递归方法的一般写法,最后一步步手写归并排序,并对其性能进行了分析。

基本思想

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。即先使每个子序列有序,再将已有序的子序列合并,得到完全有序的序列。这里给出一种递归形式的归并排序实现。

递归方法的一般写法

递归方法的书写主要有三步:

  1. 明确递归方法的功能边界;
  2. 得到递归的递推关系;
  3. 给定递归的终止条件。

递归方法均可按照这三步进行,切忌不要陷入递归实现的细节中。下面以归并排序算法的书写为例,来谈一下递归方法的具体写法。

手写归并排序

首先,明确递归方法的功能,这里我们定义方法的功能为,给定一个数组及左右边界,方法完成数组边界内元素的排序,如下:

private static void mergeSort(int[] arr,int left,int right);

先假设我们已经有了这么一个方法,不用管具体的实现。
接着,寻找递推关系,什么是递推关系呢?就是如何由子问题的求解,来得到原问题的求解,还是举例说明,有如下的数组

我们将其拆分为左右两部分,如下

递推关系就是,假如左右两部分都已经有序了,如何使整个数组有序?这个问题其实就是给定了一个数组,数组的左半部分有序,右半部分也有序,如何使整个数组有序?
首先,定义两个指针,分别指向左侧部分起始位置和右侧部分起始位置,同时创建一个辅助数组和指向其初始位置的辅助指针
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-vGvurbXm-1579178474078)(http://qiniu.exzlc.xyz/blog/sort-3.png)]
接着比较,左指针和右指针所对应的元素的大小,较小的元素填充至辅助数组,同时其对应的指针和辅助指针均加1,如下:

依次进行,直至某左指针指向中间位置或者右指针指向数组的末尾,此时要将将剩余的元素填充至辅助数组。所有的元素填充完成后,再将辅助数组中的元素填充回原数组即可。具体的代码如下:

/**
     *
     * @param arr 要合并的数组
     * @param left 左边界
     * @param mid 中间的分界
     * @param right 右边界
     */
    private static void merge(int[] arr,int left,int mid,int right){
        int[] helpArr = new int[right - left + 1];//首先定义一个辅助数组
        int lPoint = left;//左指针
        int rPoint = mid  + 1;//右指针
        int i = 0;//辅助指针
        while(lPoint <= mid && rPoint <= right){//比较并填充辅助数组
            if(arr[lPoint] <=  arr[rPoint])
                helpArr[i++] =  arr[lPoint++];
            else
                helpArr[i++] =  arr[rPoint++];
        }
        while(lPoint <= mid){//将剩余元素填充至辅助数组
            helpArr[i++] =  arr[lPoint++];
        }
        while(rPoint <= right){
            helpArr[i++] =  arr[rPoint++];
        }
        for(int j = 0;j < helpArr.length;j ++){//将辅助数组中的元素回填至原数组
            arr[left + j] = helpArr[j];
        }
    }

最后,确定终止条件,一般是数组为空或者数组中只有一个元素,返回即可。
现在我们可以写出整个归并排序的代码了,如下:

private static void mergeSort(int[] arr,int left,int right){
        if(arr == null || right == left)//终止条件
            return ;
        int mid = left + (right - left) / 2;//确定分割的边界
        mergeSort(arr,left,mid);//对左半部分调用递归方法,使其有序
        mergeSort(arr,mid + 1,right);//对右半部分调用递归方法,使其有序
        merge(arr,left,mid,right);//合并左右两部分,使整个数组有序
    }

为了保证形式的统一,再对函数进行一下封装,如下,这就是我们的归并排序了。

    /**
     * 归并排序算法
     * @param arr
     */
    public static void mergeSort(int[] arr){
        mergeSort(arr,0,arr.length - 1);//调用写好的递归版归并排序方法
    }

至此,我们便完成了归并排序算法的代码实现。

性能分析

在分析归并排序算法性能之前,先介绍几个基础的概念。
时间复杂度:一个算法执行所消耗的时间;
空间复杂度:运行完一个算法所需的内存大小;
原地排序:在排序过程中不申请多余的存储空间,只利用原来存储待排数据的存储空间进行比较和交换的数据排序。
非原地排序:需要利用额外的数组来辅助排序。
稳定排序:如果 a 原本在 b 的前面,且 a == b,排序之后 a 仍然在 b 的前面,则为稳定排序。
非稳定排序:如果 a 原本在 b 的前面,且 a == b,排序之后 a 可能不在 b 的前面,则为非稳定排序。
下面我们分析下归并排序算法的性能。
首先是时间复杂度。归并排序算法在排序时首先将问题进行分解,然后解决子问题,再合并,所以总时间=分解时间+解决子问题时间+合并时间。分解时间就是把一个数组分解为左右两部分,时间为一常数,即O(1);解决子问题时间是两个递归方法,把一个规模为n的问题分成两个规模分别为n/2的子问题,时间为2T(n/2);合并时间复杂度为O(n)。所以总时间T(n)=2T(n/2)+O(n)。这个递归问题的时间复杂度可以用下面的公式来计算

这个公式可针对形如:T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归方程进行时间复杂度求解。带入可知,归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。此外在最坏、最佳、平均情况下归并排序时间复杂度均为O(nlogn)。
空间复杂度分析:在排序过程中使用了一个与原数组等长的辅助数组,估空间复杂度为O(n)。
稳定性分析:由排序过程可以知道,归并排序是一种稳定排序。
是否原地排序:排序过程中用到了辅助数组,所以是非原地排序。
本文源码已同步至github,地址:https://github.com/zhanglianchao/AllForJava/tree/master/src/algorithm/sort

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