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遍历二叉树的递归与非递归代码实现

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  遍历二叉树可以用递归的方法去实现,也可以用非递归的方法去实现。递归代码的好处是简洁,直观,最主要的还是递归的代码少,很快就可以写完。但我们知道,递归的调用会用到一个专门的栈,这个栈的深度是有限的,如果递归函数调用的次数很多,超过栈限制的深度,那么程序就会崩溃。这个时候就需要把递归的代码改为非递归了。因此,了解掌握遍历二叉树的非递归实现还是很有必要的。

  下面会给出先序遍历,中序遍历,后序遍历的递归与非递归代码,以及层次遍历的代码。

  首先,先给出二叉树的节点定义:

1 struct BinTNode {
2     int data;
3     BinTNode *lchild, *rchild;
4 };

 

先序遍历

  先序遍历,就是先访问根节点,再访问左子树,最后再访问右子树。而要访问左子树,同样是先访问左子树的根节点,再访问左子树的左子树,最后再访问左子树的右子树。访问右子树也是同样的方法。所以,我们自然而然想到用递归的算法。

  为了方便表述,我们遍历二叉树所做的事情是把该节点的值输出。

  对于一个递归函数,我们不应该跳到递归里面去,而是去理解递归函数的定义,也就是它的作用是什么?递归结束后会返回什么样的结果?

  我们把先序遍历的递归函数定义为:传入一个根节点,如果这个节点不为空,就输出根节点的值,然后把左子树的所有节点的值输出,再把右子树的所有节点的值输出,这就是先序遍历递归函数的作用。由于函数的返回值是void,所有递归结束后不会有返回结果。所以再按照先序遍历的定义,我们可以把递归函数写成下面这样:

1 void preOrderTraversal(BinTNode *T) {
2     if (T) {                            // 节点不为空才可以输出值 
3         cout << T -> data;              // 先输出根节点的值 
4         preOrderTraversal(T -> lchild); // 再把左子树的根,也就是T -> lchild传到我们的递归函数中,输出左子树所有节点的值 
5         preOrderTraversal(T -> rchild); // 最后把右子树的根,也就是T -> rchild传到我们的递归函数中,输出右子树所有节点的值 
6     }
7 }

  了解了递归的代码后,接下来就是先序遍历的非递归实现。

  我们知道,当调用递归函数来遍历二叉树,每一个节点都会被访问3次。

  而先序遍历就对应着当该节点被第1次访问时就,输出该节点的值。由于递归的本质是运用栈,因此我们也可以模拟一个栈来实现非递归。当遇到一个不为空的节点时,我们把这个节点压入栈,这就对应于第1次访问这个节点,所以在压入栈后,输出该节点的值。然后一直做T = T -> lchild这个动作,把节点对应的左子树节点压到栈,同时输出节点的值。直到左子树为空,这时就弹出栈顶元素,这个时候该节点被第2次访问。把弹出节点的右子树节点再压入栈中。这个过程不断重复,直到节点和栈都为空。这就实现了先序遍历,先是根节点,再是左子树,最后是右子树。

  先序遍历的非递归代码如下:

 1 void preOrderTraversal(BinTNode *T) {
 2     SNode *S = initStack();     // 申请一个栈
 3     while (T || !isEmpty(S)) {  // 循环的条件是根节点和栈不同时为空 
 4         if (T) {                // 如果根节点存在不为空 
 5             push(S, T);         // 把根节点压入栈 
 6             cout << T -> data;  // 由于是第一次访问该节点,所以输出节点的值 
 7             T  = T -> lchild;   // 把左子树的根节点赋值给T,进入下一次循环 
 8         }
 9         else {                  // 如果根节点为空 
10             T = pop(S);         // 弹出栈顶元素,第二次访问该节点  
11             T = T -> rchild;    // 把右子树的根节点赋值给T,进入下一次循环
12         }
13     }
14 }

  还有另外一种先序遍历的非递归代码,和上面的代码几乎一样:

 1 void preOrderTraversal(BinTNode *T) {
 2     SNode *S = initStack();
 3     while (T || !isEmpty(S)) {
 4         while (T) {
 5             push(S, T);
 6             cout << T -> data;
 7             T = T -> lchild;
 8         }
 9         if (!isEmpty(S)) {
10             T = pop(S);
11             T = T -> rchild;
12         }
13     }
14 }
preOrderTraversal

 

中序遍历

  中序遍历,就是先访问左子树,再访问根节点,最后再访问右子树。而要访问左子树,同样是先访问左子树的左子树,再访问左子树的根节点,最后再访问左子树的右子树。访问右子树也是同样的方法。所以,同样可以用递归去实现。

  我们把中序遍历的递归函数定义为:传入一个根节点,如果这个节点不为空,先把左子树的所有节点的值输出,再输出根节点的值,最后把右子树的所有节点的值输出。其实,按照中序遍历的定义,把先序遍历的部分递归代码进行交换,就变成中序遍历了:

1 void inOrderTraversal(BinTNode *T) {
2     if (T) {                            // 节点不为空才可以输出值
3         inOrderTraversal(T -> lchild);  // 先把左子树的根,也就是T -> lchild传到我们的递归函数中,输出左子树所有节点的值
4         cout << T -> data;              // 再输出根节点的值
5         inOrderTraversal(T -> rchild);  // 最后把右子树的根,也就是T -> rchild传到我们的递归函数中,输出右子树所有节点的值
6     }
7 }

  接下来是中序遍历的非递归实现。按中序遍历的定义,当节点被第2次访问时,我们就输出节点的值。所以中序遍历和先序遍历的非递归实现几乎一样,只不过是在节点被第2次访问时才输出该节点的值,所以我们只需要把输出语句改放到该节点被第2次访问之后就可以了,也就是改放到节点从栈顶被弹出之后。

 1 void inOrderTraversal(BinTNode *T) {
 2     SNode *S = initStack();
 3     while (T || !isEmpty(S)) {
 4         if (T) {
 5             push(S, T);         // 把根节点压入栈,第一次访问该节点 
 6             T  = T -> lchild;
 7         }
 8         else {
 9             T = pop(S);         // 弹出栈顶元素,第二次访问该节点 
10             cout << T -> data;  // 由于是第二次访问该节点,所以输出节点的值 
11             T = T -> rchild;
12         }
13     }
14 }

  还有另外一种中序遍历的非递归代码,和上面的代码几乎一样:

 1 void inOrderTraversal(BinTNode *T) {
 2     SNode *S = initStack();
 3     while (T || !isEmpty(S)) {
 4         while (T) {
 5             push(S, T);
 6             T = T -> lchild;
 7         }
 8         if (!isEmpty(S)) {
 9             T = pop(S);
10             cout << T -> data;
11             T = T -> rchild;
12         }
13     }
14 }
inOrderTraversal

 

后序遍历

  后序遍历,就是先访问左子树,再访问右子树,最后再访问根节点。而要访问左子树,同样是先访问左子树的左子树,再访问左子树的右子树,最后再访问左子树的根节点。访问右子树也是同样的方法。所以,同样可以用递归去实现。

  我们把后序遍历的递归函数定义为:传入一个根节点,如果这个节点不为空,先把左子树的所有节点的值输出,再把右子树的所有节点的值输出,最后再输出根节点的值。和上面一样,后序遍历的递归函数只需要把部分递归代码进行交换:

1 void postOrderTraversal(BinTNode *T) {
2     if (T) {                              // 节点不为空才可以输出值 
3         postOrderTraversal(T -> lchild);  // 先把左子树的根,也就是T -> lchild传到我们的递归函数中,输出左子树所有节点的值
4         postOrderTraversal(T -> rchild);  // 再把右子树的根,也就是T -> rchild传到我们的递归函数中,输出右子树所有节点的值
5         cout << T -> data;                // 最后输出根节点的值
6     }
7 }

  至于后序遍历的非递归实现,就没有那么容易了。如果我们尝试在前面的先序遍历和中序遍历的非递归代码中,调换cout << T -> data; 这条语句的位置,我们会发现无论我们把它放在哪里,都无法实现后续遍历。这是由于在先序遍历和中序遍历的非递归代码中,每个节点最多能被访问2次,也就是在压入和弹出时被访问。而后序遍历要求是在节点被第3次访问时才输出节点的值。所以很明显,之前的非递归函数并不能够实现后序遍历。所以我们只能够用其他的方法来实现非递归的后序遍历。

  下面给出两种不同的后序遍历的非递归代码实现:

  1. 在节点中加入一个标志域。

1 struct BinTNode {
2     int data;
3     BinTNode *lchild, *rchild;
4     bool isFirst;    // 第一次访问节点时赋值为true;第二次访问时,也就是从栈顶弹出时赋值为false,再压入栈中;当节点再弹出时已是第三次访问该节点了 
5 };

  标志域的作用就是,当节点是第一次被弹出时,如果节点的标志域为true,那么我们再次把它压入栈里面,同时把标志域改为false,这样该节点就可以再弹出一次。当再次弹出该节点时,又因为此时节点的标志域为false,不会再被压入,从而该节点就可以实现被访问3次了。

  这样子我们就可以对一个节点访问3次,在第3次访问时输出该节点的值,从而就可以实现后序遍历了:

 1 void postOrderTraversal(BinTNode *T) {
 2     SNode *S = initStack();
 3     while (T || !isEmpty(S)) {
 4         if (T) {
 5             push(S, T);                  // 把根节点压入栈,第一次访问该节点
 6             T -> isFirst = true;         // 标志域赋值为true 
 7             T = T -> lchild;
 8         }
 9         else {
10             T = pop(S);
11             if (T -> isFirst) {         // 如果节点的标志域为true 
12                 push(S, T);             // 我们继续把它压入栈中,同时该节点被第二次访问 
13                 T -> isFirst = false;   // 同时再为该节点的标志域赋值为false,下一次再弹出该节点时就不再压入栈中 
14                 T = T -> rchild;
15             }
16             else {                      // 如果节点的标志域为false 
17                 cout << T -> data;      // 此时是第三次访问该节点,可以输出该节点的值了 
18                 T = NULL;               // 该节点的左右孩子都访问完了,我们把NULL赋值给T,在下一次的循环,去接收栈顶元素 
19             }
20         }
21     }
22 }

  2. 借助辅助指针last,last指向最近访问过的节点,也就是指向从栈顶弹出后,没有再被压入栈的那个节点。

  用栈来存储节点时,按照先序遍历和中序遍历的非递归代码,节点只能被访问两次。而后序遍历的顺序是先访问左子树,再访问右子树,最后才访问根节点。所以我们应该分清除当一个根节点从栈顶弹出时,上一次从栈顶弹出的节点到底是它的左子树的根节点,还从它右子树的根节点。所以,可以用辅助指针last,来指向最近访问过的节点,看它是不是该节点右子树的根节点。如果是,就说明该节点的左右子树都已经访问完了,可以输出该节点的值了。

  举个简单的例子:

 1 void postOrderTraversal(BinTNode *T) {
 2     SNode *S = initStack();
 3     BinTNode *last = NULL;                                // last指向刚访问完的节点    
 4     while (T || !isEmpty(S)) {
 5         if (T) {
 6             push(S, T);
 7             T = T -> left;
 8         }
 9         else {
10             T = pop(S);
11             if (T -> rchild && T -> rchild != last) {    // 如果该根节点的右孩子不为空,并且该根节点的右孩子不是刚访问的那个节点(这意味着该根节点的右子树还没有访问,是从左子树返回到该根节点的)
12                 push(S, T);                              // 再把该根节点压入,这样子当该节点再次被弹出时,已是被第三次访问了 
13                 T = T -> rchild;                         // 向下一次循环传入该根节点右子树的根节点 
14             }
15             else {                                       // 根节点的右孩子为空或者该根节点的右孩子就是刚访问的那个节点(这意味着该根节点的右子树已经被访问了,是从右子树返回到该根节点的)
16                 cout << T -> data;                       // 第三次访问该节点,所以输出节点的值
17                 last = T;                                // 因为该根节点被访问了,所以last指向该节点 
18                 T = NULL;                                // 由于该节点的左右孩子都访问完了,我们把NULL赋值给T,在下一次的循环,去接收栈顶元素 
19             }
20         }
21     }
22 }

 

 层次遍历

  最后一个是层次遍历,它不是用栈来实现的,而是用队列来实现的。类似于图的广度优先搜索(BFS)。

  因此,如果要用递归来实现层次遍历,这会是很困难的事情。这里就不讨论了。

  下面给出层次遍历的代码:

 1 void levelOrderTraversal(BinTNode *T) {
 2     if (T == NULL) return;
 3     
 4     QNode *Q = initQueue();
 5     push(Q, T);
 6     while (!isEmpty(Q)) {
 7         T = pop(S);
 8         cout << T -> data;
 9         
10         if (T -> lchild) push(Q, T -> lchild);
11         if (T -> rchild) push(Q, T -> rchild);
12     }
13 }

 

参考资料

  《数据结构:C语言版-第二版》

  浙江大学——数据结构:https://www.icourse163.org/course/ZJU-93001?tid=1461682474

  二叉树后序遍历的非递归实现:https://blog.csdn.net/u013161323/article/details/53925313

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