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Python 余弦相似度与皮尔逊相关系数 计算实例

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夹角余弦(Cosine)

也可以叫余弦相似度。 几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

(1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

(2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n),可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

即:

余弦取值范围为[-1,1]。求得两个向量的夹角,并得出夹角对应的余弦值,此余弦值就可以用来表征这两个向量的相似性。夹角越小,趋近于0度,余弦值越接近于1,它们的方向更加吻合,则越相似。当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。当余弦值为0时,两向量正交,夹角为90度。因此可以看出,余弦相似度与向量的幅值无关,只与向量的方向相关。

import numpy as np
x=np.random.random(10)
y=np.random.random(10)
 
#方法一:根据公式求解
d1=np.dot(x,y)/(np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))
 
#方法二:根据scipy库求解
from scipy.spatial.distance import pdist
X=np.vstack([x,y])
d2=1-pdist(X,'cosine')

两个向量完全相等时,余弦值为1,如下的代码计算出来的d=1。

d=1-pdist([x,x],'cosine')

皮尔逊相关系数(Pearson correlation)

(1) 皮尔逊相关系数的定义

前面提到的余弦相似度只与向量方向有关,但它会受到向量的平移影响,在夹角余弦公式中如果将 x 平移到 x+1, 余弦值就会改变。怎样才能实现平移不变性?这就要用到皮尔逊相关系数(Pearson correlation),有时候也直接叫相关系数。

如果将夹角余弦公式写成:

皮尔逊相关系数具有平移不变性和尺度不变性,计算出了两个向量(维度)的相关性。

在python中的实现:'

import numpy as np
x=np.random.random(10)
y=np.random.random(10)
 
#方法一:根据公式求解
x_=x-np.mean(x)
y_=y-np.mean(y)
d1=np.dot(x_,y_)/(np.linalg.norm(x_)*np.linalg.norm(y_))
 
#方法二:根据numpy库求解
X=np.vstack([x,y])
d2=np.corrcoef(X)[0][1]

相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)。

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