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Python数值分析求解波动方程绘制波包变化图 Python光学仿真数值分析求解波动方程绘制波包变化图

微小冷 人气:0
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波动方程数值解

波动方程是三大物理方程之一,也就是弦振动方程,其特点是时间与空间均为二阶偏导数。其自由空间解便是我们熟知的三角函数形式,也可以写成自然虚指数形式。

一般来说,既然有了精确的解析解,那也就没必要再去做不精确的数值模拟,但数值模拟的好处有两个,一是避免无穷小,从而在思维上更加直观;二是颇具启发性,对于一些解析无解的情况也有一定的处理能力。

对此,我们首先考虑一维波动方程

在这里插入图片描述

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def set_y0(x,k,L):
    y = np.zeros_like(x)
    y[x<L] = np.sin(k*x[x<L])*np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L))
    return y

if __name__ == "__main__":
    x = np.linspace(0,10,1000)
    k = np.pi*2/1.064
    L = 5
    y = set_y0(x,k,L)

    plt.plot(x,y)
    plt.show()

其形状为

在这里插入图片描述

现考虑让这个光波在 [ 0 , L ] 范围内往返传播,在此采用Dirichlet边界条件,取

在这里插入图片描述

至此,我们得到了光场的所有信息,原则上可以预测这个波包的所有行为,其迭代过程为

def wave1d(x,t,k,L):
    dx = x[1]-x[0]
    dt = t[1]-t[0]
    d2 = (dt/dx)**2
    y = np.zeros([len(t),len(x)])
    y[0,:] = set_y0(x,k,L)
    y[1,:] = set_y0(x-dt,k,L)
    for n in range(2,len(t)):
        y[n] = 2*y[n-1] - y[n-2] - d2*2*y[n-1]
        y[n,1:] += d2*y[n-1,:-1]
        y[n,:-1] += d2*y[n-1,1:]
        #边界条件
        y[n,0] = 0
        y[n,-1] = 0   
    return y

由于 y y y是随时间变化的参量,现有的matplotlib.pyplot已经无法满足我们绘制动态图片的需求,所以引入animation来进行绘制,其代码为

import matplotlib.animation as animation
#输入时间,自变量,因变量,图题标记
def drawGif(t,x,ys,mark="time="):
    tAxis = np.linspace(0,len(t)-1,100).astype(int)
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111,xlim=(0,10),ylim=(-1.5,1.5))
    ax.grid()
    line, = ax.plot([],[],lw=0.2)
    time_text = ax.text(0.1,0.9,'',transform=ax.transAxes)
    def init():
        line.set_data([],[])
        time_text.set_text("")
        return line, time_text   
    def animate(i):
        y = ys[i]
        line.set_data(x,y)
        time_text.set_text(mark+str(t[i]))
        return line, time_text
    # 动态图绘制命令
    # 输入分别为画图窗口,动画函数,动画函数输入变量,延时,初始函数
    ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, tAxis,
        interval=200, init_func=init)
    #通过imagemagick引擎来保存gif
    ani.save('wave.gif',writer='imagemagick')
    plt.show()
if __name__ == "__main__":
    x = np.linspace(0,10,1000)
    t = np.linspace(0,12,2041)
    k = np.pi*2/1.064
    L = 5
    y = wave1d(x,t,k,L)
    drawGif(t,x,y)

得到结果为

在这里插入图片描述

这个图虽然很符合我们的预期,但有些物理过程并不清晰,我们不妨把初始波包设置为只有一个波峰的孤波

def set_y0(x,k,L):
    y = np.zeros_like(x)
    y[x<L] = np.sin(np.abs(x[x<L]*np.pi/L))
    return y

其图像为

在这里插入图片描述

我们可以清晰地看到,正弦波通过腔壁后,其震动方向发生了变化,此即半波损失。

以上就是Python光学仿真数值分析求解波动方程绘制波包变化图的详细内容,更多关于Python数值分析求解波动方程绘制波包变化图的资料请关注其它相关文章!

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