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C语言青蛙跳台阶

飞向星的客机 人气:0

1. 基础问题

题目描述

一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶,也可以跳上 2 级。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

诺,就像下面这样

解题思路

其实我一看到这道题,我也是懵的,不知道从哪里着手分析,那我们就从最简单的情况开始分析。

假如 n = 1,一共有一级台阶,显然就只有一种跳法

一次跳1阶;

假如 n = 2,一共有两级台阶,共有两种跳法

跳1阶,再跳1阶

跳2阶

假设n = 3,共有三种跳法。

跳1阶,跳1阶,再跳1阶

跳1阶,再跳2阶

跳2阶, 再跳1阶

(注:此过程图是我从网上找的,实在是难得画啦)

通过上面的分析,我们可以这样思考问题

前往楼梯顶部的最后一步,要么跳1阶,要么跳2阶;

先假设f(n)为 n 级台阶的总跳法数;

那么第一次如果选择跳一级的话,剩下的 n-1 级台阶的跳法数就为f(n−1)。

如果第一次跳两级的话,剩下的 n-2 级台阶的跳法就是f(n−2);

现在青蛙一次只能跳一级或两级,所以我们可以推出以下公式:

咦,这玩意儿不就是我们 斐波那契数 吗?

只不过有一点不同的是,斐波那契数列一般是以1,1,2,3,5,8,13……开始的;

而我们这是以1,2,3,5,8,13……开始的,少了最前面的一个1。

代码实现

上面说到这个过程有点类似于斐波那契数,但又不完全是,所以我们先看主代码部分

#include <stdio.h>
int jump(int n)
{
    if (n < 3)
    {
        //假设n的范围是[0, 3]
        return n;
    }
    else
    {
        //n>3的时候
        return jump(n - 1) + jump(n - 2);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);
    
    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

但是,我们来看一下计算的过程

要计算f(6),就需要先计算出子问题f(5)和f(4)

然后要计算f(5),又要先算出子问题f(4)和f(3),以此类推。

一直到f(2)和f(1),递归树才终止。

因此,青蛙跳阶,递归解法的时间复杂度 等于O(1) * O(2ⁿ)=O(2ⁿ)

你仔细观察这颗递归树,你会发现存在「大量重复计算」;

比如f(4)被计算了两次,f(3)被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因,就是存在大量的重复计算!

所以我们可以对代码进行优化

递归升级

在递归法的基础上,新建一个长度为n的数组,用于在递归时存储f(0)至f(n) 的数字值,重复遇到某数字时则直接从数组取用,避免了重复的递归计算。

所以我们设置一个数组,用于存放第一次计算某一个n的jump(n)。

当每一次要计算一个jump(n)的时候,就先查看数组中以n为下标的地方是否有值,有的话就可以不调用jump(n),而直接从数组中取得结果值,否则再计算jump(n)。

代码实现

#include <stdio.h>

long int f[1000]={0};
int jump(int n){
    //当只有一阶台阶的时候,只有一种上台阶的方式。
    
    //当有2阶台阶的时候,有2种上台阶的方式,一种是一次上一阶,还有一种是一次上2个台阶。
    
    //现在设有n阶台阶,如果n>2,那种应该有(先跳一阶)+(先跳2阶)的方式
    
    //如果先跳一阶,那么就有jump(n-1)中方式。如果先跳2阶,那么就有jump(n-2)中方式。
    
    //因此可以知道共有jump(n-1) + jump(n-2)种方式。
    if(n==1)
    {
        f[1]=1;
        return f[1];
    }

    if(n==0)
    {
        f[0]=1;
        return f[0];
    }

    if(n==2)
    {
        f[2]=2;
        return f[2];
    }
    else
    {
        if(f[n-1]!=0)
        {
            if(f[n-2]!=0)
            {
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
            else
            {
                f[n-2]=jump(n-2);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
        }
        else
        {
            if(f[n-2]!=0)
            {
                f[n-1]=jump(n-1);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
            else
            {
                f[n-1]=jump(n-1);
                f[n-2]=jump(n-2);
                return (f[n-1]+f[n-2]);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

动态规划解法

很快我又发现,不必把所有的记录都记起来;

假设我有3阶楼梯,我只需要知道跳2阶和跳1阶的方法数是多少就可以算出跳3阶的方法数;

因此每次只需要保留n−1阶和n−2阶的方法数。

代码实现

#include <stdio.h>

int jump(int n)
{
    //n=0、1、2的时候,直接返回n即可
    if (n < 3)
    {
        return n;
    }
    
    //第一个数为1
    int one = 1;

    //第二个数为2
    int two = 2;

    //用于存放前两个数之和
    int sum = 0; 
    while (n > 2)
    {
        sum = one + two;
        one = two;
        two = sum;

        n--;
    }
    return sum;
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

2. 问题升级

题目描述

一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上二级台阶……,也可以跳n级,求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

解题思路

一只青蛙要想跳到n级台阶,可以从一级,二级……,也就是说可以从任何一级跳到n级

当台阶为1级时,f(1)=1;

当台阶为2级时,f(2)=1+1=2;

当台阶为3级时,f(3)=f(1)+f(2)+1=4;

当台阶为4级时,f(4)=f(1)+f(2)+f(3)+1=8;

当台阶为5级时,f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+1=16;

所以递推公式我们很容易就能想到:f(n)=f(n−1)+f(n−2)+……+f(2)+f(1)+f(0)

最后这个f(0)是可以去掉的,因为0级就相当于没跳,所以f(0)=0

然后我们把f(0)去掉再转换一下:f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+……+f(2)+f(1);

推导过程

我们列两个等式:

①f(n)=f(n−1)+f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)

②f(n−1)=f(n−2)+f(n−3)+…+f(2)+f(1)

由①-②得,f(n)=2f(n−1)

代码实现

递归方法

代码示例

int jump(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 2 * jump(n - 1);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

非递归方法

当然这里也可以用非递归的方式来实现

那么非递归怎么去思考呢?

可以这样理解:

然后使用用函数pow(2,n -1),需要加头文件<math.h>

但是我们这里可以不用库函数来实现,给大家介绍一种神奇的运算

代码示例

int jump(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 1 << (n-1);
    }
}

int main()
{
    int num = 0;
    printf("请输入一个台阶数:> ");
    scanf("%d", &num);

    int ret = jump(num);

    printf("小青蛙有 %d种 跳法\n", ret);
    return 0;
}

运行结果

我这里选择用<<左移操作符来计算

3. 特性总结

其实这道算法题的本质可以说就是斐波那契数的衍生;

反言之,对于算法,我的理解:算法本质就是数学的解题过程

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