Java数据结构之图的基础概念和数据模型详解

图的实际应用

在现实生活中，有许多应用场景会包含很多点以及点点之间的连接，而这些应用场景我们都可以用即将要学习的图这种数据结构去解决。

地图：

我们生活中经常使用的地图，基本上是由城市以及连接城市的道路组成，如果我们把城市看做是一个一个的点，把道路看做是一条一条的连接，那么地图就是我们将要学习的图这种数据结构。

图的定义及分类

定义： 图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的。

特殊的图：

• 自环：即一条连接一个顶点和其自身的边；
• 平行边：连接同一对顶点的两条边；

图的分类：

按照连接两个顶点的边的不同，可以把图分为以下两种：

无向图：边仅仅连接两个顶点，没有其他含义；

有向图：边不仅连接两个顶点，并且具有方向；

图的相关术语

相邻顶点：

当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并且称这条边依附于这两个顶点。

度：

某个顶点的度就是依附于该顶点的边的个数

子图：

是一幅图的所有边的子集(包含这些边依附的顶点)组成的图；

路径：

是由边顺序连接的一系列的顶点组成

环：

是一条至少含有一条边且终点和起点相同的路径

连通图：

如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图

连通子图：

一个非连通图由若干连通的部分组成，每一个连通的部分都可以称为该图的连通子图

图的存储结构

要表示一幅图，只需要表示清楚以下两部分内容即可：

• 图中所有的顶点；
• 所有连接顶点的边；

常见的图的存储结构有两种：邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵

• 使用一个V*V的二维数组int[V][V] adj,把索引的值看做是顶点；
• 如果顶点v和顶点w相连，我们只需要将adj[v][w]和adj[w][v]的值设置为1,否则设置为0即可。

很明显，邻接矩阵这种存储方式的空间复杂度是V^2的，如果我们处理的问题规模比较大的话，内存空间极有可能不够用。

邻接表

1.使用一个大小为V的数组 Queue[V] adj，把索引看做是顶点；

2.每个索引处adj[v]存储了一个队列，该队列中存储的是所有与该顶点相邻的其他顶点。

很明显，邻接表的空间并不是是线性级别的，所以后面我们一直采用邻接表这种存储形式来表示图。

图的实现

下面通过代码实现一个无向图。

图的API设计

代码实现

/**
 * 无向图的表示
 *
 * @author alvin
 * @date 2022/10/30
 * @since 1.0
 **/
public class Graph {
    //顶点数目
    private final int V;
    //边的数目
    private int E;
    //邻接表,队列的形式
    private Queue<Integer>[] adj;

    public Graph(int V) {
        // 初始化顶点数量
        this.V = V;
        //初始化边的数量
        this.E = 0;
        //初始化邻接表
        this.adj = new Queue[V];
        //初始化邻接表中的空队列
        for (int i = 0; i < adj.length; i++) {
            adj[i] = new ArrayDeque<>();
        }
    }

    public void addEdge(int v, int w) {
        //把w添加到v的链表中，这样顶点v就多了一个相邻点w
        adj[v].add(w);
        //把v添加到w的链表中，这样顶点w就多了一个相邻点v
        adj[w].add(v);
        //边的数目自增1
        E++;
    }

    //获取顶点数目
    public int V() {
        return V;
    }

    //获取边的数目
    public int E(){
        return E;
    }

    //获取和顶点v相邻的所有顶点
    public Queue<Integer> adj(int v) {
        return adj[v];
    }
}

数组adj的索引表示顶点。