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Java优先级队列(堆)

波风张三 人气:0

一、堆的概念

堆的定义:n个元素的序列{k1 , k2 , … , kn}称之为堆,当且仅当满足以下条件时:

(1)ki >= k2i 且 ki >= k(2i+1) ——大根堆

(2) ki <= k2i 且 ki <= k(2i+1) ——小根堆

简单来说:

堆是具有以下性质的完全二叉树:
(1)每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大根堆(如左下图);
或者:
(1)每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小根堆(如右下图)。

我们使用数组保存二叉树结构,即是将二叉树用层序遍历方式放入数组中,如上图。

堆的元素下标存在以下关系:

1.假如已知双亲(parent)的下标,则

左孩子(left)下标 = 2parent + 1;

右孩子(right)下标 = 2parent +2;

2.已知孩子(child)(不区分左右)下标,则:

双亲(parent)下标 = (child - 1)/ 2 ;

小结:

二、向下调整

1.建初堆

设有一个无序序列 {2,5,7,8,4,6,3,0,9,1 },下面通过图解来建初始堆。

这里有一个前提:这棵二叉树的左右子树都必须是一个堆,才能进行调整。

下面是用到的数据的一些说明:

过程文字描述如下:

1.index 如果已经是叶子结点,则整个调整过程结束:

(1)判断 index 位置有没有孩子;

(2) 因为堆是完全二叉树,没有左孩子就一定没有右孩子,所以判断是否有左孩子;

(3) 因为堆的存储结构是数组,所以判断是否有左孩子即判断左孩子下标是否越界,即 left >= size 越界。

2.确定 left 或 right,谁是 index 的最小孩子 min:

(1) 如果右孩子不存在,则 min = left;

(2)否则,比较 array[left] 和 array[right] 值得大小,选择小的为 min;

(3)比较 array[index] 的值 和 array[min] 的值,如果 array[index] <= array[min],则满足堆的性质,调整结束。

3.否则,交换 array[index] 和 array[min] 的值;

4.然后因为 min 位置的堆的性质可能被破坏,所以把 min 视作 index,向下重复以上过程。

通过上面的操作描述,我们写出以下代码:

public static void shiftDown(int[] array, int size, int index){
        int left = 2*index +1;
        while(left < size){
            int min = left;
            int right = 2*index +2;
            if(right<size){
                if(array[right] < array[left]){
                    min = right;
                }
            }
            if(array[index] <= array[min]){
                break;
            }
            int tmp = array[index];
            array[index] = array[min];
            array[min] = tmp;
            index = min;
            left = 2*index +1;
        }
    }

时间复杂度为 O(log(n))。

2.建堆

下面我们给出一个数组,这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树,但是还不是一个堆,现在我们通过算法,把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆,我们怎么调整呢?这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整,一直调整到根节点的树,就可以调整成堆。

时间复杂度分析:

粗略估算,可以认为是在循环中执行向下调整,为 O(n * log(n)),(了解)实际上是 O(n)。

//建堆代码
    public void createHeap(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
        //根据代码 显示的时间复杂度   看起来 应该是O(n*logn)  但是 实际上是O(n)
        for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
            //调整
            shiftDown(parent,usedSize);
        }
    }

三、优先级队列

1.什么是优先队列?

根据百科解释:

普通的队列是一种先进先出的数据结构,元素在队列尾追加,而从队列头删除。在优先队列中,元素被赋予优先级。当访问元素时,具有最高优先级的元素最先删除。优先队列具有最高级先出(first in, largest out)的行为特征。通常采用堆数据结构来实现。

所以我们在这里实现优先队列的内部原理是堆,也就是说采用堆来构建。

2.入队列

过程(以大堆为例):

下面图解:

    private void shiftUp(int child) {
        int parent = (child-1)/2;
        while (child > 0) {
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

3.出队列

为了防止破坏堆的结构,删除时并不是直接将堆顶元素删除,而是用数组的最后一个元素替换堆顶元素,然后通过向 下调整方式重新调整成堆。

    private void shiftUp(int child) {
        int parent = (child-1)/2;
        while (child > 0) {
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public void offer(int val) {
        if(isFull()) {
            //扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        elem[usedSize++] = val;
        //注意这里传入的是usedSize-1
        shiftUp(usedSize-1);
    }

4.返回队首元素

直接返回堆顶元素

    public int peek() {
        if(isEmpty()) {
            throw new RuntimeException("优先级队列为空!");
        }
        return elem[0];
    }

    public boolean isEmpty() {
        return usedSize == 0;
    }

整体的代码:

public class TestHeap {
    public int[] elem;
    public int usedSize;

    public TestHeap() {
        this.elem = new int[10];
    }

    /**
     * 向下调整函数的实现
     * @param parent 每棵树的根节点
     * @param len 每棵树的调整的结束位置  10
     */
    public void shiftDown(int parent,int len) {
        int child = 2*parent+1;
        //1、最起码 是有左孩子的,至少有1个孩子
        while (child < len) {
            if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
                child++;//保证当前左右孩子最大值的下标
            }
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                parent = child;
                child = 2*parent+1;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public void createHeap(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
        //根据代码 显示的时间复杂度   看起来 应该是O(n*logn)  但是 实际上是O(n)
        for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
            //调整
            shiftDown(parent,usedSize);
        }
    }

    private void shiftUp(int child) {
        int parent = (child-1)/2;
        while (child > 0) {
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                child = parent;
                parent = (child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    public void offer(int val) {
        if(isFull()) {
            //扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        elem[usedSize++] = val;
        //注意这里传入的是usedSize-1
        shiftUp(usedSize-1);
    }

    public boolean isFull() {
        return usedSize == elem.length;
    }

    public int poll() {
        if(isEmpty()) {
            throw new RuntimeException("优先级队列为空!");
        }
        int tmp = elem[0];
        elem[0] = elem[usedSize-1];
        elem[usedSize-1] = tmp;
        usedSize--;
        shiftDown(0,usedSize);
        return tmp;
    }


    public int peek() {
        if(isEmpty()) {
            throw new RuntimeException("优先级队列为空!");
        }
        return elem[0];
    }

    public boolean isEmpty() {
        return usedSize == 0;
    }


    public void heapSort() {
        int end = this.usedSize-1;
        while (end > 0) {
            int tmp = elem[0];
            elem[0] = elem[end];
            elem[end] = tmp;
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
    }

}

5.堆的其他TopK问题

什么是TopK问题?

从arr[1, n]这n个数中,找出最大的k个数,这就是经典的TopK问题。

解决这类问题,我们往往会有以下几种思路:

我们直接讲思路三:

  1. 先用前k个元素生成一个小顶堆,这个小顶堆用于存储,当前最大的k个元素。
  2. 接着,从第k+1个元素开始扫描,和堆顶(堆中最小的元素)比较,如果被扫描的元素大于堆顶,则替换堆顶的元素,并调整堆,以保证堆内的k个元素,总是当前最大的k个元素。
  3. 直到,扫描完所有n-k个元素,最终堆中的k个元素,就是所要求的TopK。

以这个数组{12,15,21,41,30}为例,找到前3个最大的元素。

那如果是将一组进行从小到大排序,我们该采用大根堆还是小根堆?

答案是:大根堆!

步骤如下:

总结:

如果求前K个最大的元素,要建一个小根堆。如果求前K个最小的元素,要建一个大根堆。第K大的元素。建一个小堆,堆顶元素就是第K大的元素。第K小的元素。建一个大堆,堆顶元素就是第K小的元素。

    public void heapSort() {
        int end = this.usedSize-1;
        while (end > 0) {
            int tmp = elem[0];
            elem[0] = elem[end];
            elem[end] = tmp;
            shiftDown(0,end);
            end--;
        }
    }
    public void shiftDown(int parent,int len) {
        int child = 2*parent+1;
        //1、最起码 是有左孩子的,至少有1个孩子
        while (child < len) {
            if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
                child++;//保证当前左右孩子最大值的下标
            }
            if(elem[child] > elem[parent]) {
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                parent = child;
                child = 2*parent+1;
            }else {
                break;
            }
        }
    }


总结

来来回回,这篇文章写了2-3天了,以前写文章总是蜻蜓点水,不到水深,导致自己对很多的知识也没有多深理解,仅仅是为了写文章而写文章。希望有改变,从这篇文章开始吧!

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